Системы счисления

Общие понятия

Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел - язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. Общий вид числа:

A = anan-1...a2a1a0


Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8


В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки.

Диапазон представления D чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенной между минимальным и максимальным числами, представленными заданными разрядами.

Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

возможность представления числа в заданном диапазоне чисел

однозначность представления

краткость и простота записи чисел

легкость овладения системой, а также простота и удобство оперирования ею.

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Двоичная 0,1
Десятичная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатиричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания.Позиция цифр в числе значения не имеет.

Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.

Пример:

I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31

Позиционными называются системы счи сления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Пример:

111 = 1*102 + 1*101+1*100 = 100 + 10 + 1

Общий вид для положительных целых чисел:

f1.gif (314 bytes)

Здесь X - число, xi - i-тый разряд числа, p - основание системы счисления

В десятичной системе счисления каждая единица старшего разряда равна десяти единицам младшего разряда.

Пример:

273,210 = 2*102 + 7*101 + 3*100 + 2*10-1

Развернутая запись числа:

Xp = ¦ (x1pm-1 + x2pm-2 + ... + xm-1p1 + xm + p0 + xm+1p1 + ... + xnpm-n)

xi принимает значения 0, 1, 2, ... , p-1

Двоичная система (p = 2) использует 2 цифры: 0 и 1.

Если основание системы счисления больше 10 и общепринятых цифр не хватает, используют другие символы.

Пример:

185,210
В9,416 = 11*161 + 9*160 + 4*16-1
271,28 = 2*82 + 7*81 + 1*80
2321,14 = 2*43 + 3*42 + 2*41 + 1*40 + 1*4-1
10111001,012 = 1*27 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 1*20 + 1*2-2

Существует двоично-десятичная система. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определенной комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой.

Пример:

12510 = 0001 0010 01012-10 (3 тетрады)

0000 = 0 0100 = 4 1000 = 8
0001 = 1 0101 = 5 1001 = 9
0010 = 2 0110 = 6
0011 = 3 0111 = 7

В общем, система распределения весов разрядов - 8421.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Пусть Ap (A - число, p - основание системы) - число в системе счисления с основанием p, требуется перевести в систему счисления с основанием q. Перевод осуществляется следующим образом: путём последовательного деления числа Аp частных на q получаем в виде остатков от деления p - ичные записи q - ичных цифр, начиная с младших, необходимых для изображения числа Аq, первое полуученое значение частного < q определяет старшую цифру числа Аq, что фиксирует окончание перевода. Деление всегда должно производиться в исходной системе счисления

Пример:

Требуется перевести число 13910 в 2-ную, 8-ную, 4-ную системы счисления.

Решение:

1)  139 69 34 17 8 4 2 1 0 - частное

     1 1 0 1 0 0 0 1 - остаток

     100010112 = 1*27+1*23+1*21+1*20 = 13910

2)  139/8 = 17, остаток 3

     17/8 = 2, остаток 1

     2/8 = 0, остаток 2

     2138 = 2*82+1*81+3*80 = 128+8+3 = 13910

3)  139/4 = 34, остаток 3

      34/4 = 8, остаток 2

      8/4 = 2, остаток 0

      2/4 = 0, остаток 2

      20234 = 2*43+2*41+3*40 = 128+8+3 = 13910

Двоичная система счисления

Под двоичной системы исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Веса разрядов изменяются по закону:

2¦k, kОZ

В вычислительной технике используется двоичная система исчисления, так как элементы имеют 2 состояния, а их легче реализовывать, чем множество состояний. Например, триггер условно принимает 2 состояния + и -, 1 и 0, Да и Нет.

Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр - байт.

Пример: сложение двух чисел

1001+1010 = 10011

910+1010 = 1910

0+0 = 0 0-0 = 0 0*0 = 0

1+0 = 1 1-0 = 1 1*0 = 0

0+1 = 1 0-1 = 1 0*1 = 0

1+1 = 1 1-1 = 0 1*1 = 1

Для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL)

Пример: Операция SRL

0 0 0 0 0 1 0 0

преобразуется в

0 0 0 0 1 0 0 0

f2.gif (407 bytes)

Назад | Содержание | Вперед