Способы представления данных

Существует 2 способа предcтавления чисел: с плавающей и фиксированной точкой.

Общий вид представления числа с фиксированной точкой:

В общем случае фиксированная точка (естественная форма представления чисел) характеризуется значением m (m = соnst). В этом случае для всех чисел, с которыми оперирует машина, положение точки постоянно. Можно увидеть, что при m = 0 все числа, с которыми оперирует машина, меньше 1 и представлены в виде правильных дробей.

В формате с фиксированной точкой разрядная сетка имеет n + 1 разряд:

+x_max+ = 0.111...1 - 2ⁿ

+x_min+ = 0.000...1 * 2ⁿ

0 T +x+ T 1 - 2ⁿ

При использовании чисел с фиксированной точкой может возникнуть переполнение.

Такое представление числа соответствует нормальной форме записи:

¦ (x₁p^-1 + x₂p^-2 + ... + x_np^-n)

Здесь p^-n - мантисса, p^m - порядок.

Пример:

133,21 = 10²*1.3321, 10²- порядок, 1.3321- мантисса.
1332.1 = 10³*1.3321
0.13321 = 10^-1*1.3321

При использовании формата с плавающей точкой пользуются понятием нормализованного представления чисел.

Нормализованным числом называется число, мантисса которого удовлетворяет следующим неравенствам:

Пример:

0,00121 = 10^-2*0.121
0.0010 = 2^-2*0.101
101.10 = 2³ *0.10110

Kn - код порядка
Km - код мантиссы
ln - длина поля порядка
lm - длина поля мантиссы

Знак '-' кодируется единицей, знак '+' - нулем.

Диапазон представления чисел (максимальное число) зависит от того, как велики поля порядка и мантиссы.

Пример:

2⁵*0.110101

Основной операцией в ЭВМ является операция сложения. При вычислении суммы в ЭВМ возможны 2 случая: либо слагаемые имеют разные знаки, либо одинаковые.

1-й алгоритм

1. Сложить два числа
2. Сумме присвоить знак одного из слагаемых

2-й алгоритм

1. Сравнить знаки слагаемых. Если они одинаковы, то выполнить сложение по 1-му алгоритму.
2. Сложить слагаемые по абсолютной величине, если знаки слагаемых разные.
3. Если необходимо, переставить числа местами, чтобы вычитать из большего меньшее.
4. Произвести вычитание.
5. Результату присвоить знак большего слагаемого.

S = A + (-B)

Распространёнными формами представления чисел со знаками является их представление в прямом, обратном и дополнительном коде

Прямой код числа образуется кодированием знака числа нулём, если число положительно и единицей, если число отрицательно (для двоичной системы)

Для общего случая (q - 1) - если число отрицательно, и 0 - если число положительно. q - основание системы счисления.

Код знака записывается перед старшей цифрой числа и отделяется от неё точкой:

-1.01 = 1.101

Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел совпадают между собой.

Обратный код отрицательного числа образуется из прямого кода, заменой его цифр на их дополнения до величины q-1. Код знака сохраняется без изменения.

Пример :

+123₁₀ = 0.123_пр. = 0.123_об.
-123₁₀ = 9.123_пр = 9.876_об.
+3А7С00₁₆ = 0.3А7С00_пр = 0.3А7С00_об.
-3А7С00₁₆ = F.3А7С00_пр = F.C583FF_об.
-101₂ = 1.101_пр = 1.010_об.

Замена цифр их дополнениями для двоичной системы совпадает с операцией инверсии, то есть нули заменяются единицами, единицы - нулями. Знак принимает значение, равное единице.

Дополнительный код отрицательного числа образуется из обратного увеличением на 1 его младшего разряда. При этом перенос из знакового разряда игнорируется.

Пример:

+236₁₀ = 0.236_пр.= 0.236_об.= 0.236_доп.
-236₁₀ = 9.236_пр.= 9.763_об.= 9.764_доп.
-101₂ = 1.101_пр.= 1.010_об.= 1.011_доп.
-3А7С₁₆ = F.3А7С_пр.= F.C583_об.= F.C584_доп.

Правила перевода из прямого кода в обратный и из обратного в прямой, а также из прямого в дополнительный и из дополнительного в прямой совпадают между собой.

Рассмотрим представление формата в ЭВМ на примерах форматов, используемых в IBM 360/370 и ПЭВМ.

Как упоминалось ранее, в ЭВМ информация, представляемая с использованием множества двоичных разрядов, называется его разрядной сеткой. Количество этих разрядов определяет длину разрядной сетки. Для чисел заданного диапазона используется разрядная сетка с заранее определённой длиной и назначением разряда, что называется заданием числа в определённом формате. Задание диапазона предполагает выбор системы счисления, кода и разрядности чисел, что находит отражение в написании формата.

Кроме бита и байта, для указания длины формата используется слово, его производные - полуслово, двойное слово. Двойное слово и полуслово по-разному определяется для разных систем ЭВМ. Кроме того, используется понятие тетрада - 4 двоичных разряда, которыми может кодироваться, например, одна двоичная цифра.

Назначение разряда в формате структурирует разрядную сетку, то есть разбивает её на поля, объединяющие разряды сходного назначения. Например, разряды мантиссы или порядка. Форматы чисел в IBM 360/370 имеют длину полуслова, слова и двоичного слова, содержащие соответственно 2,4 и 8 байт.

Двоичные разряды в форматах формируются слева направо (начиная с нулевого разряда).

Форматы H и F используются для представления двоичных чисел с фиксированной точкой, а E и D - с плавающей. Для представления десятичных чисел требуются форматы Z и P.

В формате H и F записывают целые двоичные числа, представленные в дополнительном коде и имеющие длину соответственно полуслова (короткий формат H) и слова (длинный формат F). Нулевой дволичный разряд является знаком. Формат H позволяет представить числа в диапазоне от -2¹⁵ до 2¹⁵-1, формат F - от -2³¹ до 2³¹-1. Форматы E и D служат для представления двоичных чисел с плавающей точкой и имеют длину соответственно слова и двойного слова. В нулевом разряде указывается код знака мантиссы (Зн). В семи следующих разрядах первого байта записывается характеристика (Х), представляющая собой порядок (П), в виде положительного числа . В последующих байтах записывается мантисса.

Форматы E и D описывают двоичные числа в двоично-кодированной шестнадцатеричной системе счисления. Порядок чисел изменяется от -64 до +63.

Характеристика (Х) изменяется от 0 до 127,

Х = Р + 64,

то есть смещает порядок в область положительных чисел.

Формат D за счёт большей длины, используемой для увеличения разрядности мантиссы, обеспечивает представление чисел с большей точностью.

Диапазон абсолютных значений чисел в форматах E и D составляет величины от 16^-64 до 16⁶³ , что эквивалентно пределам от 10^-77 до 10⁷⁶.

Для представления чисел в формате E и D необходимо перевести число в 16-ричную систему счисления, представить его в форме с плавающей точкой, определить характеристику и занести код знак мантиссы, характеристику и мантиссу в соответствующие поля формата.

Пример:

300₁₀ = 12С₁₆ = 0.12С₁₆*16³ = 4312С000_E = 43.12С00000000000_D
-80₁₀ = -50₁₆ = -0.50₁₆*16² = С2500000_E = С250000000000000_D

Для положительных чисел при переводе в формат Е впереди пишется 4, для отрицательных - С.

Для положительного числа:

Для отрицательного числа:

2₁₀ = 2₁₆ = 0.2₁₆*16¹ = 41200000_Е = 4120000000000000_D

Форматы Z и P (зонный и упакованный) используют двоично-десятичную систему исчисления с весами 8421. Каждая десятичная цифра кодируется тетрадой.

Пример:

15₁₀ = 0001 0101_2-10

Знак числа: если число положительное, то оно кодируется символами A, C, E, F , если же число отрицательное- то символами B и D.

Формат Z (зонный формат)используется при вводе и выводе. Для каждой цифры отводится 1 байт, причём правая тетрада кодирует цифру, а левая зона принимает значение F, если кодируется цифра, и этим отличает цифру от кодов других символов в других информациях. Крайний правый байт, кодирующий младшую цифру, на месте зоны имеет код знака.

Формат Р называется упакованным и используется при выполнении операций над цифрами. Получается из зонного путём удаления зон и перенесения кода знака на место справа от тетрады, кодирующей младшую цифру. Формат имеет целое количество байт и пре необходимости дополняется слева от младшей цифры нулевой тетрадой. Форматы Z и P могут иметь длину от 1 до 16 байт.

Пример:

+30₁₀ = 1Е₁₆ = 001Е_H = 0000001Е_F
-30₁₀ = 1Е₁₆ = FFE2_H = FFFFFFE2_F
+30₁₀ = 1Е₁₆ = 0.1Е₁₆*16² = 421E0000_E = 421E000000000000_D
-30₁₀ = 1Е₁₆ = -0.1Е₁₆*16² = C21E0000_E = C21E000000000000_D
+30₁₀ = F3AO_Z = 030A_P
-30₁₀ = F3BO_Z = 030B_P
+325₁₀ = F3F2A5_Z = 325A_P

Назад | Содержание | Вперед